Introduzione alla Teoria di Brill-Noether

M. Roth | 2007 Semestre II
Martedì: 14:00–16:00, Aula 100
Giovedì: 11:00–12:30, Aula 100

Un fibrato in rette su una curva C si dice speciale se il suo comportamento non è completamente spiegato dal teorema di Riemann-Roch. Una serie lineare speciale è essenzialmente un sottospazio di sezioni globali di un tale fibrato. Molte delle questioni sulla geometria delle curve si riducono a questioni sulle serie lineari speciali, e quindi le serie lineari speciali hanno un ruolo fondamentale nella geometria algebrica delle curve.

La teoria di Brill-Noether è lo studio delle serie lineari speciali, ed è una bellissima combinazione di geometria classica e geometria moderna, e di esempi concreti e tecniche astratte. L'idea del corso è di dare una breve introduzione a questa teoria, sfruttando l'opportunità per parlare tanto delle idee fondamentali che di quelle avanzate.

È mia intenzione di presentare il materiale con calma e nei dettagli, dando il tempo di pensare al meglio i concetti. Non so prevedere esattamente quanto sarà necessario, anche perché ciò dipende dalle conoscenze di chi verrá alle lezioni: percio il programma sotto (come molte pagine web) sarà soggetto a continui aggiornamenti.

Programma

La prima lezione è solamente per le persone che non hanno lavorato molto con fibrati vettoriali, ed è sconsigliata per gli altri.
20 Feb Preliminari: Il linguaggio dei fibrati vettoriali
   Definizione, funzione di transizione, esempi.
22 Introduzione I
   Domande, Fibrati Lineari e morfismi, moltiplicazione per una sezione
27 Introduzione II
   Serie lineari, Risposte.
1 Mar Oggetti Principali e Riemann-Roch I
   Definizioni: Pic, prodotto simmetrico, sottoschemi importanti, teorema di R-R.
6 Riemann-Roch II
   Versione geometrica del teorema di R-R
8 Riemann-Roch III
   Dimostrazioni, dualità di Serre
13 Luoghi Determinantali
   Studio locale, lemmi fondamentale sulla dimensione, numero di Brill-Noether.
15 Coomologia e Cambiamento di Base I
   Definizione di fasci immagine diretta, esempi, domande fondamentali.
20 Coomologia e Cambiamento di Base II
   Cocicli affini relativi, lemma di Mumford, teoremi.
22 Teoria delle deformazioni
   Idea intuitiva, esempi
27 Lezione cancellata — Enrico Bombieri parla alle 15:30, Aula INdAM, la Sapienza.
   (e c'è anche Victor Kac, alle 14:00, nella stessa aula).
29 Calcolo di Spazi Tangenti
   Descrizione degli spazi tangenti, il prodotto cup, condizione di Petri.
3 Apr Teoremi Principali I
   Teoremi, applicazioni alle domande precedenti.
5 Teoremi Principali II
   Esempi e più esempi.
10 Lezione cancellata — Pasqua I
   C'è anche la scuola di dottorato a Gargnano.
12 Lezione cancellata — Pasqua II
   Ancora la scuola di dottorato a Gargnano....
17 Lezione spostata — ci serà un seminario di geometria nel luogo della lezione.
   (vedi la pagina del seminario per dettagli).
19 Storia della teoria di Brill-Noether I
   Lavori di Brill e Noether, degenerazione ad una curve di Castelnuovo
24 Lezione spostata o cancellata (io faccio un seminario a Genova).
  
26 Storia della teoria di Brill-Noether II
   Lavori di Kleiman, Laksov, Kempf, Griffiths, Harris, Eisenbud, Gieseker, Lazarsfeld ed altri
1 Mag Lezione spostata di nuovo! (1 Maggio).
   Ci sarà una lezione il 4 maggio per recuperare quella del 1 maggio
3 Fibrati Vettoriali Ampi
   Definizione, proprietà fondamentali.
4 Conseguenze topologiche dell'ampiezza
   Teorema "di Lefschetz" per fibrati ampi, degenerazione di morfismi.
8 Fibrati di Picard e loro ampiezza
   Costruzione, ampiezza. Teorema principale "per ogni curva C".
10 Superfici K3
   Definizione, prime conseguenze
15 Teorema di Torelli per superfici K3
   Decomposizione di Hodge, teoremi di Torelli, Dominio dei periodi, teorema di Torelli per K3
17 Dimostrazione di Lazarsfeld della Congettura di Petri I
   Idea della dimostrazione, Schemi di quozienti, trasformazioni elementari.
22 Dimostrazione di Lazarsfeld della Congettura di Petri II
   Costruzione dello spazio di fibrati, dimensione, liscità
24 Dimostrazione di Lazarsfeld della Congettura di Petri III.
   Calcolo di spazi tangenti e coomologia.
29 Teorema di Kleiman-Laksov (conferenza tenuta da Elisa Postinghel)
   Calcolo di Schubert, Grassmaniana relativa, calcolo di classe di coomologia.
31 Teorema di Pareschi (conferenza tenuta da Luigi Lombardi)
   Mappa di Gauss, mappa di Kodaira-Spencer, calcolo di coomologia.