Un fibrato in rette su una curva C si dice speciale se il suo comportamento non è completamente spiegato dal teorema di Riemann-Roch. Una serie lineare speciale è essenzialmente un sottospazio di sezioni globali di un tale fibrato. Molte delle questioni sulla geometria delle curve si riducono a questioni sulle serie lineari speciali, e quindi le serie lineari speciali hanno un ruolo fondamentale nella geometria algebrica delle curve.
La teoria di Brill-Noether è lo studio delle serie lineari speciali, ed è una bellissima combinazione di geometria classica e geometria moderna, e di esempi concreti e tecniche astratte. L'idea del corso è di dare una breve introduzione a questa teoria, sfruttando l'opportunità per parlare tanto delle idee fondamentali che di quelle avanzate.
È mia intenzione di presentare il materiale con calma e nei dettagli, dando il tempo di pensare al meglio i concetti. Non so prevedere esattamente quanto sarà necessario, anche perché ciò dipende dalle conoscenze di chi verrá alle lezioni: percio il programma sotto (come molte pagine web) sarà soggetto a continui aggiornamenti.
| 20 | Feb | Preliminari: Il linguaggio dei fibrati vettoriali |
| Definizione, funzione di transizione, esempi. | ||
| 22 | Introduzione I | |
| Domande, Fibrati Lineari e morfismi, moltiplicazione per una sezione | ||
| 27 | Introduzione II | |
| Serie lineari, Risposte. | ||
| 1 | Mar | Oggetti Principali e Riemann-Roch I |
| Definizioni: Pic, prodotto simmetrico, sottoschemi importanti, teorema di R-R. | ||
| 6 | Riemann-Roch II | |
| Versione geometrica del teorema di R-R | ||
| 8 | Riemann-Roch III | |
| Dimostrazioni, dualità di Serre | ||
| 13 | Luoghi Determinantali | |
| Studio locale, lemmi fondamentale sulla dimensione, numero di Brill-Noether. | ||
| 15 | Coomologia e Cambiamento di Base I | |
| Definizione di fasci immagine diretta, esempi, domande fondamentali. | ||
| 20 | Coomologia e Cambiamento di Base II | |
| Cocicli affini relativi, lemma di Mumford, teoremi. | ||
| 22 | Teoria delle deformazioni | |
| Idea intuitiva, esempi | ||
| 27 | Lezione cancellata — Enrico Bombieri parla alle 15:30, Aula INdAM, la Sapienza. | |
| (e c'è anche Victor Kac, alle 14:00, nella stessa aula). | ||
| 29 | Calcolo di Spazi Tangenti | |
| Descrizione degli spazi tangenti, il prodotto cup, condizione di Petri. | ||
| 3 | Apr | Teoremi Principali I |
| Teoremi, applicazioni alle domande precedenti. | ||
| 5 | Teoremi Principali II | |
| Esempi e più esempi. | ||
| 10 | Lezione cancellata — Pasqua I | |
| C'è anche la scuola di dottorato a Gargnano. | ||
| 12 | Lezione cancellata — Pasqua II | |
| Ancora la scuola di dottorato a Gargnano.... | ||
| 17 | Lezione spostata — ci serà un seminario di geometria nel luogo della lezione. | |
| (vedi la pagina del seminario per dettagli). | ||
| 19 | Storia della teoria di Brill-Noether I | |
| Lavori di Brill e Noether, degenerazione ad una curve di Castelnuovo | ||
| 24 | Lezione spostata o cancellata (io faccio un seminario a Genova). | |
| 26 | Storia della teoria di Brill-Noether II | |
| Lavori di Kleiman, Laksov, Kempf, Griffiths, Harris, Eisenbud, Gieseker, Lazarsfeld ed altri | ||
| 1 | Mag | Lezione spostata di nuovo! (1 Maggio). |
| Ci sarà una lezione il 4 maggio per recuperare quella del 1 maggio | ||
| 3 | Fibrati Vettoriali Ampi | |
| Definizione, proprietà fondamentali. | ||
| 4 | Conseguenze topologiche dell'ampiezza | |
| Teorema "di Lefschetz" per fibrati ampi, degenerazione di morfismi. | ||
| 8 | Fibrati di Picard e loro ampiezza | |
| Costruzione, ampiezza. Teorema principale "per ogni curva C". | ||
| 10 | Superfici K3 | |
| Definizione, prime conseguenze | ||
| 15 | Teorema di Torelli per superfici K3 | |
| Decomposizione di Hodge, teoremi di Torelli, Dominio dei periodi, teorema di Torelli per K3 | ||
| 17 | Dimostrazione di Lazarsfeld della Congettura di Petri I | |
| Idea della dimostrazione, Schemi di quozienti, trasformazioni elementari. | ||
| 22 | Dimostrazione di Lazarsfeld della Congettura di Petri II | |
| Costruzione dello spazio di fibrati, dimensione, liscità | ||
| 24 | Dimostrazione di Lazarsfeld della Congettura di Petri III. | |
| Calcolo di spazi tangenti e coomologia. | ||
| 29 | Teorema di Kleiman-Laksov (conferenza tenuta da Elisa Postinghel) | |
| Calcolo di Schubert, Grassmaniana relativa, calcolo di classe di coomologia. | ||
| 31 | Teorema di Pareschi (conferenza tenuta da Luigi Lombardi) | |
| Mappa di Gauss, mappa di Kodaira-Spencer, calcolo di coomologia. |